Метод конечных разностей или метод сеток - реферат

ВВЕДЕНИЕ

Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным уравнениям в личных прозводных (уравнения математической физики). Установившиеся процессы различной физической природы описываются уравнениями эллиптического типа.

Четкие решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся получить только в личных случаях. Потому эти задачки решают в главном приближённо. Одним из более универсальных Метод конечных разностей или метод сеток - реферат и действенных способов, получивших в текущее время обширное распространение для приближённого решения уравнений математической физики, является способ конечных разностей либо способ сеток.

Сущность способа состоит в последующем. Область непрерывного конфигурации аргументов, заменяется дискретным обилием точек (узлов), которое именуется сетью либо решёткой. Заместо функции непрерывного аргумента рассматриваются функции дискретного аргумента Метод конечных разностей или метод сеток - реферат, определённые в узлах сетки и именуемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при всем этом краевая задачка для дифференциального уравнения заменяется системой линейных либо нелинейных алгебраических уравнений (сеточных либо разностных уравнений). Такие системы нередко именуют разностными схемами. И эти схемы решаются относительно неведомой сеточной Метод конечных разностей или метод сеток - реферат функции.

Дальше мы будем рассматривать применение итерационного способа Зейделя для вычисления неведомой сеточной функции в краевой задачке с неоднородным бигармоническим уравнением.

ПОСТАНОВКА Задачки

Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :

2

U = f

Данное на области G={ (x,y) : 0<=x<=a, 0<=y<=b }. Пусть также заданы краевые условия на границе области G .

U Метод конечных разностей или метод сеток - реферат = 0 Y

x=0 b

U xxx = 0

x=0

G

U x = 0

x=a

U xxx = 0 0 a X

x=a

U = 0 U = 0

y=0 y=b

U y = 0 U xx + U yy = 0

y=0 y=b y=b

Нужно решить эту задачку численно.

Для решения будем использовать итерационный способ Зейделя для решения сеточных задач.

По нашей области G Метод конечных разностей или метод сеток - реферат построим равномерные сетки W x и W y с шагами h x и h y соответственно .

W x ={ x(i)=i h x , i=0,1...N, h x N=a }

W y ={ y(j)=j h y , j=0,1...M, h y M=b }

Огромное количество узлов U ij =(x(i Метод конечных разностей или метод сеток - реферат),y(j)) имеющих координаты на плоскости х(i) ,y(j) именуется сетью в прямоугольнике G и обозначается :


W={ U ij =(ih x ,j h y ), i=0,1...N, j=0,1...M, h x N=a, h y M=b }


Сетка W разумеется состоит из точек скрещения прямых x=x(i) и y=y Метод конечных разностей или метод сеток - реферат(j) .

Пусть задана сетка W .Огромное количество всех сеточных функций данных на W образует векторное место с определённом на нём сложениемфункций и умножением функции на число. На пространстве сеточных функций можно определитьразностные либо сеточные операторы. 0ператор A модифицирующий сеточную функцию U в сеточную функцию f=AU именуется разностным либо Метод конечных разностей или метод сеток - реферат сеточным оператором. Огромное количество узлов сетки применяемое при написании разностного оператора в узле сетки именуется шаблоном этого оператора.

Простым разностным оператором является оператор дифференцирования сеточной функции, который порождает разностные производные. Пусть W - сетка с шагом h введённая на R т.е.

W={X i =a+ih Метод конечных разностей или метод сеток - реферат, i=0, + 1, + 2...}

Тогда разностные производные первого порядка для сеточной функции Y i =Y(X i ) , X i из W , определяется по формулам :

L 1 Y i = Y i - Y i-1 , L 2 Y i = L 1 Y i+1

h

и именуются соответственно левой и правой производной. Употребляется так же центральная производная :

L 3 Y i =Y Метод конечных разностей или метод сеток - реферат i+1 - Y i-1 = ( L 1 + L 2 )Y i

2h 2

Разностные операторы A 1 , A 2 , A 3 имеют шаблоны состоящие 2х точек и применяются при апроксимации первой производной Lu=u’ . Разностные производные n -ого порядка определяются как сеточные функции получаемые оковём вычисления первой разностной производной от функции, являющейся разностной производной n-1 порядка, к примеру Метод конечных разностей или метод сеток - реферат :

Y xxi =Y xi+1 - Y xi = Y i-1 -2Y i +Y i+1

2

h h

Y xxi = Y xi+1 -Y xi-1 = Y i-2 - 2Y i +Y i+ 2

2

2h 4h

которые применяются при апроксимации 2-ой производной. Надлежащие разностные операторы имеют 3х точечный шаблон.

Анологично не представляет труда найти разностные Метод конечных разностей или метод сеток - реферат производные от сеточных функций нескольких переменных.

Аппроксомируем нашу задачку при помощи разностных производных. И применим к получившейся сеточной задачке способ Зейделя.

Способ ЗЕЙДЕЛЯ

Одним из методов решения сеточных уравнений является итерационный способ Зейделя.

Пусть нам дана система линейных уравнений :

AU = f

либо в развёрнутом виде :

M

a ij U Метод конечных разностей или метод сеток - реферат j = f i , i=1,2...M

i=1

Итерационный способ Зейделя в предположении что диагональные элементы матрицы А=( a ij ) отличны от нуля ( a ii 0 ) записывается в последующем виде :

i (k+1) M (k)

a ij Y j + a ij Y j = f i , i=1,2...M

j=1 j=i+1

(k)

где Y j Метод конечных разностей или метод сеток - реферат - j ая компонента итерационного приближения номера k . В качестве исходного приближения выбирается случайный вектор.

Определение ( k +1) -ой итерации начинается с i=1

(k+1) M (k)

a 11 Y 1 = - a 1j Y j +f 1

j=2

(k+1)

Потому что a 11 0 то отсюда найдём Y 1 . И для i=2 получим :

( k+1 ) (k+1) M (k)

a Метод конечных разностей или метод сеток - реферат 22 Y 2 = - a 21 Y 1 - a 2j Y j + f 2

j=3

(k+1) (k+1) (k+1) ( k+1 )

Пусть уже найдены Y 1 , Y 2 ... Y i-1 . Тогда Y i находится из уравнения :

(k+1) i-1 (k+1) M (k)

a ii Y i = - a ij Y j - a ij Y j + f i (*)

j=1 j=i+1

Из формулы Метод конечных разностей или метод сеток - реферат (*) видно , что метод способа Зейделя черезвычайно прост. Отысканное по формуле (*) значение Y i располагается на месте Y i .

Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации 1-го итерационного шага. Если все a ij не равны нулю, то вычисления по формуле (*) требуютM-1 операций умножения и 1-го деления. Потому реализация Метод конечных разностей или метод сеток - реферат

2

1-го шага осуществляется за 2M - M арифметических действий.

Если отлично от нуля только m частей, а эта самая ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага будет нужно 2 Mm-M действий т.е. число действий пропорционально числу неведомых M .

Запишем сейчас способ Зейделя Метод конечных разностей или метод сеток - реферат в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц :

A = D + L + U

где


0 0 . . . 0 0 a 12 a 13 . . . a 1M

a 21 0 0 0 a 23 . . . a 2M

a 31 a 32 0 0 .

L = . U= .

. .

. a M-1M

a M1 a M2 . . . a MM-1 0 0 0

И матрица D - диагональная.

(k) (k) (k)

Обозначим Метод конечных разностей или метод сеток - реферат через Y k = ( Y 1 ,Y 2 ... Y M ) вектор k -ого итерационного шага. Пользуясь этими обозначениями запишем способ Зейделя по другому :

( D + L ) Y k+1 + UY k = f , k=0,1...

Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем :

( D + L ) (Y k+1 - Y k ) +AY k = f , k Метод конечных разностей или метод сеток - реферат=0,1...

Мы разглядели так именуемый точечный либо скалярный способ Зейделя, анологично строится блочный либо векторный способ Зейделя для варианта когда a ii - есть квадратные матрицы, вообщем говоря, различной размерности, а a ij для ij - прямоугольные матрицы. В данном случае Y i и f i есть векторы, размерность которых соответствует размерности Метод конечных разностей или метод сеток - реферат матрицы a ii .

ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Пусть Y i =Y(i) сеточная функция дискретного аргумента i . Значения сеточной функции Y(i) в свою очередь образуют дискретное огромное количество. На этом огромном количестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Y(i) - сеточное уравнение Метод конечных разностей или метод сеток - реферат. Особым случаем сеточного уравнения является разностное уравнение.

Сеточное уравнение выходит при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений.

Так дифференциальное уравнение первого порядка :

dU = f (x) , x > 0

dx

можно поменять разностным уравнением первого порядка :

Y i+1 - Y i = f (x i ) , x i = ih, i=0,1...

h

илиY i+1 =Y i +hf Метод конечных разностей или метод сеток - реферат (x) , где h - шаг сетки v ={x i =ih, i=0,1,2...} . Разыскиваемой функцией является сеточная функция Yi=Y(i) .

При разностной аппроксимации уравнения второго поряда

2

d U = f (x)

2

dx

получим разностное уравнение второго порядка :

2

Y i+1 - 2Y i + Y i+1 = y i , где y i =h f i Метод конечных разностей или метод сеток - реферат

f i = f(x i )

x i = ih

Для разностной aппроксимациипроизводных U’, U’’, U’’’ можно воспользоваться шаблонами с огромным числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям более высочайшего порядка.

Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции U ij = U(i,j) 2-ух дискретных аргументов. К примеру пятиточечная разностная схема “крест” для уравнения Метод конечных разностей или метод сеток - реферат Пуассона

U xx + U yy = f (x,y)

на сетке W смотрится последующим образом :

U i-1j - 2U ij +U i+1j + U ij-1 - 2U ij +U ij+1 = f ij

2 2

h x h y

где h x - шаг сетки по X

h y - шаг сетки поY

Сеточное уравнение вида Метод конечных разностей или метод сеток - реферат можно записать так:

N

C ij U j = f i i=0,1...N

j=0

Оно содержит все значения U 0 , U 1 ... U N сеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка N равного числу узлов сетки минус единица.

В общем случае под i - можно осознавать не только лишь Метод конечных разностей или метод сеток - реферат индекс , да и мультииндекс т.е. вектор i = (i 1 ... i p ) с целочисленными компонентами тогда и :

С ij U j =f i i Î W

j Î W

где сумирование происходит по всем узлам сетки W . Если коэффициенты С ij не зависят от i, тоуравнение именуют уравнением с неизменными коэффициентами.

Аппроксимируем Метод конечных разностей или метод сеток - реферат нашу задачку т.е. заменим уравнение и краевые условия на надлежащие им сеточные уравнения.

U=U(x,y)

y

M b

M-1

Uij j

j

1

0 1 2 i N-1 N=a x

i

Построим на области G сетку W . И зададим на W сеточную функцию U ij =U(x i ,y j ) ,

где

x i =x 0 +ih x

y i Метод конечных разностей или метод сеток - реферат =y 0 +jh y

h x = a/N ,

h y = b/M и т.к.

x 0 =y 0

то

x i =ih x , y i =jh y , i=0...N

j=0...M

Найдём разностные производные входящие в уравнение

2

D U = f

(т.е построим разностный аналог бигармонического уравнения).

Ux ij = U Метод конечных разностей или метод сеток - реферат i+1j - U ij , Ux i-1j = U ij - U i-1j

h x h x

Uxx ij = U i-1j - 2U ij + U i+1j

h x

Разглядим Uxxxx ij как разность третьих производных :

Uxx i-1j - Uxx ij - Uxx ij - Uxx i+1j

Uxxxx ij = h x Метод конечных разностей или метод сеток - реферат h x = U i-2j - 4U i-1j + 6U ij - 4U i+1j + U i+2j

4

h x h x

Анологично вычислим производную по y :

Uyyyy ij = U ij-2 - 4U ij-1 + 6U ij - 4U ij+1 +U ij+2

4

h y

Вычислим смешанную разностную производнуюUxxyy :

Uxx ij-1 - Uxx ij - Uxx ij Метод конечных разностей или метод сеток - реферат - Uxx ij+1

(Uxx)yy ij = h y h y = Uxx ij-1 - 2Uxx ij +Uxx ij+1 =

2

hy hy

= U i-1j-1 - 2U ij-1 + U i+1j-1 - 2 U i-1j - 2U ij + U i+1j + U i-1j-1 - 2U ij+1 + U i+1j+1

2 2 2 2 2 2

h x h y h x h y Метод конечных разностей или метод сеток - реферат h x h y

В силу того чтоD U = f

имеем:

U i-2j - 4U i-1j + 6U ij - 4U i+1j +U i+2j +

4

h x

+ 2 U i-1j-1 - 2U ij-1 + U i+1j-1 - 4 U i-1j - 2U ij +U i+1j + 2 U i-1j+1 -2U ij+1 + U i+1j+1 +

2 2 2 2 2 2

h Метод конечных разностей или метод сеток - реферат x h y h x h y h x h y

+ U ij-2 - 4U ij-1 + 6U ij - 4U ij+1 + U ij+2 = f ij (*)

4

h y

Это уравнение имеет место для

i=1, 2, ... N-1

j=1,2, ... M-1

Разглядим краевые условия задачки. Разумеется последующее :

x= 0 ~ i = 0

x=a ~ x N =a Метод конечных разностей или метод сеток - реферат

y=0 ~ Yo=0

y=b ~ Y M =b


1) х=0 (левая граница областиG )

Заменим условия

U = 0

x=o

Uxxx = 0

x=o

на надлежащие им разностные условия

U o j =0

U -1j =U 2j - 3U 1j (1`)

2) х=а (правая граница областиG )

i=N

Ux = 0

x=a

Uxxx = 0

x=a из того что U i+1j Метод конечных разностей или метод сеток - реферат - U i-1j = 0

2h x

U N+1j = U N-1j

U Nj = 4 U N-1j - U N-2j (2`)

3

3) у=0 (нижняя граница области G )

j=0

U i ,-1 = U i1

U i0 = 0 (3`)

это есть разностный аналогUy = 0

y=o

U =0

y=o

4) у=b

i=M

U = 0

y=b т.е.U iM Метод конечных разностей или метод сеток - реферат =0 (**)

Распишем через разностные производныеUxx + Uyy =0 и беря во внимание чтоj=M и (**) получим

U iM-1 = U iM+1

Итак краевые условия на у=b имеют вид

U iM+1 = U iM-1

U iM = 0 (4`)

Итого наша задачка в разностных производных состоит из уравнения (*) данного на сетке W и краевых критерий (1 ` )-(4 ` ) данных на границе области Метод конечных разностей или метод сеток - реферат G (либо на границе сетки W )

ПРИМЕНЕНИЕ Способа ЗЕЙДЕЛЯ

Разглядим применение способа Зейделя для нахождения приближенного решения нашей разностной задачки (*) ,(1`) - (4`).

В этом случае неведомыми являются

U ij = U( x i ,y j )

где x i = ih x

y j = jh y

при чём h x = a/N ,

h y Метод конечных разностей или метод сеток - реферат = b/M

это есть шаг сетки по x и по у соответственно , а N и М соответственно количество точек разбиения отрезков [ 0 , а] и [0 , b]

Пользуясь плодами предшествующего раздела запишем уравнение

2

D U = f

как разностное уравнение. И упорядочим неведомые естественным образом по строчкам сетки W , начиная с нижней строчки Метод конечных разностей или метод сеток - реферат.


1 U i-2j - 4 + 4 U i-1j + 6 - 8 + 6 U ij - 4 + 4 U i+1j + 1 U i+2j + 2 U i-1j-1 -

4 4 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2

h x h x h x h y h x h x h y h y h x h x h y h x h x h y


- 4 + 4 U ij-1 + 2 U i+1j-1 + 2 U Метод конечных разностей или метод сеток - реферат i-1j+1 - 4 + 4 U ij+1 + 2 U i+1j+1 + 1 U ij-2 +

2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4

h x h y h y h x h y h x h y h x h y h y h x h y h y

+ 1 U ij+2 = f ij для i=1 ... N-1, j=1 ... M-1

4

h y Метод конечных разностей или метод сеток - реферат

и U удовлетворяет краевым условиям (1 ` ) - (4`), потому что в каждом уравнении связаны вкупе менее 13 неведомых то в матрице А отличны от нуля менее 13-элементов в строке. В согласовании со вторым разделом перепишем уравнение:

(k+1) (k+1) (k+1) (k+1)

6 - 8 + 6 U ij = - 1 U ij-2 - 2 U i-1j-1 + 4 + 4 U ij-1 -

4 2 2 4 4 2 2 2 2 4

h x h x h y h Метод конечных разностей или метод сеток - реферат y h y h x h y h x h y h y

(k+1) (k+1) (k+1) (k)

- 2 U i+1j-1 - 1 U i-1j + 4 + 4 U i-1j + 4 + 4 U i+1j -

2 2 4 4 2 2 4 2 2

h x h y h x h x h x h y h x h x h Метод конечных разностей или метод сеток - реферат y


(k) (k) (k) (k) (k)

- 1 U i+2j - 2 U i-1j+1 + 4 + 4 U ij+1 - 2 U i+1j+1 - 1 U ij+2 + f ij

4 2 2 2 2 4 2 2 4

h x h x h y h x h y h y h x h y h y

(k)

При чем U удовлетворяет краевым условиям ( 1` ) - (4`) . Вычисления начинаются с Метод конечных разностей или метод сеток - реферат i=1, j=1 и длятся или по строчкам или по столбцам сетки W . Число неведомых в задачке n = (N-1)(M-1) .

Как видно из вышеизложенных рассуждений шаблон в этой задачке тринадцатиточечный т.е. на каждом шаге в разностном уравнении участвуют 13 точек (узлов сетки) Разглядим вид матрицы А -для данной задачки.

j Метод конечных разностей или метод сеток - реферат+2
j+1
j
j-1

Матрица способа выходит последующим образом : все узлы сетки перенумеровываются и располагаются в матрице Так что все узлы попадают на одну строчку и потому матрица способа для нашей задачки будет тринадцатидиагональной .

j-2
i-1
i
i+1
i+2
i-2
Шаблон задачки

ОПИСАНИЕ Программки.

Константы применяемые в программке :

aq = 1 - правая граница Метод конечных разностей или метод сеток - реферат области G

b = 1 - левая граница области G

N = 8 - колличество точек разбиения отрезка[0,a]

M = 8 - колличество точек разбиения отрезка [0,b]

h1 = aq/N - шаг сетки по X

h2 = b/M - шаг сетки по Y

Переменные :

u0 - значения сеточной функции U на k -ом шаге

u1 - значения сеточной функции U на (k Метод конечных разностей или метод сеток - реферат+1) -ом шаге

a - массив коэффициентов шаблона

Описание процедур :

procedure Prt(u:masa) - печать результата

function ff(x1,x2: real):real - возвращает значение функцииf в узле ( x1,x2 )

procedure Koef - задаёт значения коэффициентов

Действие :

Берётся начальое приближение u0 и с учётом краевых критерий ведётся вычисление с i=2 ... N , j=2 ... M . На каждом итерационном шаге Метод конечных разностей или метод сеток - реферат получаем u1 по u0 . По достижении данной точности eps>0 вычисления прекращаются. И все элементы матрицы A, которые лежат ниже главной диагонали получают итерационный шаг ( k+1 ) , а те элементы которые лежат выше главной диагонали (исключая главную диагональ) получают итерационный шаг k .

Примечание : программка реализована на языке Borland Pascal 7.0

Министерство Метод конечных разностей или метод сеток - реферат общего и проф образования РФ

Воронежский муниципальный институт

факультет ПММ

кафедра Дифференциальных уравнении

Курсовой проект

“Решение бигармонического уравнения способом Зейделя”

Исполнитель : студент 4 курса 5 группы

Никулин Л.А.

Управляющий : старший педагог

Рыжков А.В.

Воронеж 1997г.


metod-molekulyarnih-orbitalej-metod-mo.html
metod-monologicheskogo-izlozheniya-poyasnitelnaya-zapiska-dannaya-dopolnitelnaya-obrazovatelnaya-programma-kraj-v.html
metod-nablyudeniya-rukovodstvo-predpriyatiya-dolzhno-obespechit-tshatelno-planirovanie-vzaimosvyazannih-elementov-kompleksa.html