Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа

Лекция №4

Функция Грина для задачки Дирихле

Разглядим задачку Дирихле:

, (17)

где D – ограниченная область, а и ­ непрерывные функции.

Представим, что

(18)

­ базовое решение уравнения Лапласа в области D и обращается в нуль на ее границе . Для этого функция должна быть решением граничной задачки:

(19)

Подставив в формулу

(20)

.

Значения величин, данные в граничной задачке (17), и положив

, получим

, (21)

потому что Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа в(20) и на обращается в нуль.

Если базовое решение и его производная существует, то эта формула дает решение задачки Дирихле (17), принадлежащее рассматриваемому классу функций в интегральной форме. Тем, решение задачки Дирихле (17) вида для неоднородного уравнения может быть заменено разысканием функции , зачем требуется отыскать решение задачки Дирихле (19) личного вида для однородного Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа уравнения. Базовое решение именуют функцией Грина задачки (17) Дирихле либо функцией Грина оператора Лапласа. Приобретенный итог распространяется и на внешнюю задачку Дирихле для уравнения Лапласа ( ). Подобные результаты были бы получены для задачки Неймана и смешанной задачки:

;

.

Лекция №4

Функция Грина для задачки Дирихле.

Способ конформных отображений решения

Уравнения Лапласа

Функция Грина для задачки Дирихле Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа. (см.лекцию №2)

Способ конформных отображений решения уравнения Лапласа

Имеется задачка:

(1-го рода – задачка Дирихле; 2-го рода ­ задачка Неймана, 3-го рода ­ смешанная задачка).

Разглядим для простоты задачку Дирихле (1).

Решение задачки либо определяется, во-1-х, областью, в какой ищется функция , зависящая от формы области ; во-2-х, граничными критериями.

Решение Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа задачки для уравнения Пуассона всегда может быть

сведено к решению уравнения Лапласа (к примеру, функция Грина для задачки Дирихле)

Решение задачки (1)–(2), т.е. уравнение Лапласа понятно для канонических областей (круг, квадрат, кольцо, верхняя полуплоскость и т.п.). Для областей сложной геометрической формы конкретное решение для этой области представляет огромные трудности . Зная решения уравнения Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа Лапласа для канонических областей и функцию , конформно отображающую область на каноническую область, и функцию , можно найти решение для области случайной формы

; (3)

При этом, производится , (4)

т.е. и ­ сопряженно-гармонические функции (условия моногенности Коши-Римана). Уравнение Лапласа остается инвариантным относительно преобразований, доставляемых моногенными функциями всеохватывающей переменной.

Преобразования, даваемые функциями (3) будут Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа конформными (нескончаемо малые области плоскости переводятся в подобщие им фигуры в плоскости , где .

При этом, если область односвязная, то область целенаправлено показать на круг либо верхнюю полуплоскость и на кольцо, если область двухсвязная. Фактически для хоть какой области можно выстроить приближенные, конформно отображающие функции. К примеру, для многоугольных областей Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа можно пользоваться формулой Кристоффеля-Шварца.

1) К примеру, функция, конформно отображающая прямоугольник со сторонами 2а и 2 в на верхнюю полуплоскость имеет вид:

, (5)

где ­ полный эллиптический интеграл 1-го рода, - определяется из уравнения - функция Якоби (эллиптический синус)

L

y

z


S

x

z=f-1

2) Функция, отображающая эксцентрически расположенные круглые трубы радиуса и на кольцо имеет вид Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа:

;

- координаты точки скрещения внутренней окружности с осью абсцисс

y

R2


К уравнениям Лапласа и Пуассона приводят бессчетные задачки теории теплопроводимости, электростатики, гидродинамики, теории упругости и т.д. Это уравнения эллиптического типа. Обычно различают три главных вида граничных критерий и, соответственно, три главных вида граничной задачки:

1) , - 1-ая граничная задачка (задачка Дирихле Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа);

2) - 2-ая граничная задачка (задачка Неймана); (15)

3) - 3-я (смешанная) граничная задачка.

Тут и - непрерывные функции, определенные на ; - наружняя нормаль к .

Если область, в какой ищется решение уравнения, ограничена, то граничная задачка именуется внутренней. Если же эта область является частью места, лежащей вне некой ограниченной области, то граничная задачка именуется наружной.

Задачку математической физики Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа именуют корректно поставленной, если ее решение существует, единственно и безпрерывно находится в зависимости от данных задачки. Корректная постановка задачки обычно обеспечивает физическую содержательность решения. Существует основная группа критерий, обеспечивающая правильность той либо другой граничной задачки. Она сводится к последующему. Функция, дающая решение граничной задачки для уравнения в личных производных Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа 2-го порядка должна:

1) быть непрерывна в области, в какой ставится задачка, прямо до границы области;

2) снутри области иметь непрерывные 2-ые производные и удовлетворять данному уравнению;

3) на границе области удовлетворять данному граничному условию;

4) если область трехмерна и нескончаема, то при стремится к нулю.

Решения граничных задач, поставленных в Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа трехмерных областях, удовлетворяющие перечисленным условиям именуют постоянными. Молвят, что в точке функция является гармонической, если в этой точке она имеет непрерывные 2-ые производные и удовлетворяет уравнению Лапласа. Функция является гармонической в замкнутой области D, если она:

1) непрерывна в этой области; 2) гармонична во всех внутренних точках области; 3) если область D нескончаема, то Метод конформных отображений решения уравнения Лапласа при повдоль хоть какого луча, стремится к нулю .

2) Постоянные решения граничных задач для уравнения Лапласа являются гармоническими функциями.

Если функция в области D гармонична по координатам точки и непрерывна вкупе со своими первыми производными, то функцию

(16) именуют базовым решением уравнения Лапласа, где

, - координаты 2-ух точек,

удовлетворяет уравнению Лапласа при .


metod-naimenshih-kvadratov-mnk.html
metod-naiskorejshego-spuska.html
metod-nauchnoj-klassifikacii-ponyatij.html