Метод контрольного объема

Способ контрольного объема можно рассматривать как личный случай способа взвешенных невязок. Основная мысль способа контрольного объема просто понятна и поддается прямой физической интерпретации. Расчетную область разбивают на некое число непересекающихся контрольных объемов таким макаром, что любая узловая точка содержится в одном контрольном объеме. Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому контрольному объему. Для вычисления Метод контрольного объема интегралов употребляют кусочные профили, которые обрисовывают изменение Ф меж узловыми точками. В итоге находят дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения Ф в нескольких узловых точках. Приобретенный схожим образом дискретный аналог выражает закон сохранения Ф для конечного контрольного объема точно так же, как дифференциальное уравнение выражает закон Метод контрольного объема сохранения для нескончаемо малого контрольного объема. Одним из принципиальных параметров способа контрольного объема будет то, что в нем заложено четкое интегральное сохранение таких величин, как масса, количество движения и энергия на хоть какой группе контрольных объемов и, как следует, на всей расчетной области. Это свойство проявляется при любом числе узловых Метод контрольного объема точек, а не только лишь в предельном случае очень огромного их числа. Таким макаром, даже решение на грубой сетке удовлетворяет четким интегральным балансам.

Итог решения дискретных уравнений относительно значений в узловых точках можно рассматривать двойственно. В способе конечных частей и большинстве способов взвешенных невязок в качестве приближенного Метод контрольного объема решения берется предполагаемое изменение Ф, состоящее из значений в узловых точках и интерполяционных функций (либо профилей) меж узловыми точками.. Напротив, в конечно-разностном способе в качестве решения рассматриваются только значения Ф в узловых точках и не делается никаких очевидных указаний о нраве конфигурации Ф меж этими точками. Эта ситуация Метод контрольного объема припоминает лабораторный опыт, в каком рассредотачивание величины дается в виде измеренных значений в неких дискретных точках и не определяется ее изменение в промежутках меж этими точками. Мы также используем этот подход в способе контрольного объема и будем находить решение в виде значений исключительно в узловых точках. Интерполяционные формулы либо Метод контрольного объема профили будем рассматривать как вспомогательные, нужные для расчета интегралов.

После получения дискретных аналогов догадки о нраве профилей можно не учесть. Такая точка зрения дает полную свободу использования разных профилей для интегрирования различных членов дифференциального уравнения.

Конвекция является результатом движения воды. Ниже будет получено решение для функции Ф при Метод контрольного объема данном поле течения (т. е. компонентах скорости и плотности). Источник инфы о поле течения тут несуществен. Его можно получить из опыта, на базе аналитического решения, при помощи способа, описанного в последующей главе, и т. д. Имея любым методом определенное поле течения, можно высчитать поле температур, концентрации, энтальпии либо хоть какой Метод контрольного объема другой величины, представляемой обобщенной переменной Ф.

Хотя при учете конвекции добавляется только один новый член, вводимый в истинной главе, его аппроксимация оказывается довольно сложной. Конвективный член конкретно связан с диффузионным, и их целенаправлено рассматривать как целое. Вот поэтому реальная глава названа «Конвекция и диффузия». Нужно держать в голове Метод контрольного объема, что слово «диффузия» употребляется тут в обобщенном значении. Оно включает не только лишь диффузию хим компонент, вызванную градиентами концентрации. Диффузионный поток, вызванный градиентом обобщенной переменной Ф, определяется как — ГдФ/дхj для определенной величины Ф он может представлять собой диффузионный поток хим компонент, термический поток, вязкое напряжение и т. д. Обобщенное дифференциальное уравнение Метод контрольного объема содержит член (д/дхj)(ГдФ/дхj), который определяется как диффузионный член. Практически это выражение представляет собой сумму 3-х составляющих по трем координатным фронтам, но комфортно рассматривать их вместе как единый диффузионный член. Подобные рассуждения справедливы для конвективного члена (д/дхj)(риjФ). Отметим одно из параметров конвективно-диффузионной задачки Метод контрольного объема. Так как данное поле течения должно удовлетворять уравнению неразрывности

(1.21)

то общее дифференциальное уравнение

(1.22)

можно записать в виде:

(1.23)

На данном шаге имеются все составляющие, нужные для получения дискретного аналога, соответственного общему дифференциальному уравнению (1.22).

Поначалу найдем аппроксимацию двухмерного уравнения, но ту же функцию применим и к трехмерному случаю.

Разглядим контрольный объем Метод контрольного объема на рис. 3. Используя опыт, обретенный при анализе одномерной задачки для получения суммарного термического потока Jе, и предположив, что отысканное выражение применимо ко всей грани контрольного объема площадью Δу×1,сможем сходу записать дискретный аналог для двухмерной задачки.

Подробности получения дискретного аналога.При рассмотрении одномерного варианта было показано, что аР оказывается Метод контрольного объема равным аЕ + аW только тогда, когда удовлетворено уравнение неразрывности. Таким макаром, наше основное правило относительно суммы примыкающих коэффициентов может быть удовлетворено только тогда, когда в рассмотрение включено уравнение неразрывности. Этот вывод подтверждается последующим образом.

Рис 3. Контрольный объем (заштрихованная область) для двухмерного варианта

Уравнение (3.2) в двухмерной форме можно представить в виде

(3.1.1)

где JxиJу— суммарные Метод контрольного объема (конвекция плюс диффузия) потоки, определенныеследующим образом:

(3.1.2)

где и, v — составляющие скорости в направлениях осей х и у. Интегрирование уравнения (3.1.1) по контрольному объему, показанному на рис. 3.1.1, дает

(3.1.3)

где источниковый член линеаризован стандартным образом, а для нестационарного члена ρP и ФР полагаются преобладающими по всему контрольному объему. Старенькые значения (на прошлом Метод контрольного объема шаге по времени) обозначаются рр° и ФР°.

В согласовании с на сто процентов неявным методом аппроксимации все другие величины (не имеющие верхних индексов) рассматриваются как новые значения. Величины Jе, Jw, Jn и Js представляют собой проинтегрированные по граням контрольного объема суммарные потоки, т. е. Jе=∫Jdyx, для грани е и Метод контрольного объема т. д.

Аналогичным образом можно проинтегрировать уравнение неразрывности (3.1) по контрольному объему

(3.1.4)

где Fе, Fw, FпиFs— массовые расходы потока через грани контрольного объема.

Если ρи в точке е считается преобладающей по всей грани е контрольного объема, то

(3.1.5)

Аналогично

(3.1.6)

Если помножить уравнение (3.1.4) на ФР и отнять его из уравнения (3.1.3), получим

(3.1.7)

Этот метод с внедрением (3.1.3) и Метод контрольного объема (3.1.4) позволяет получить (3.1.7), являющееся дискретным аналогом композиции уравнений (3.1) и (3.2), на базе которых получено (3.3).

Другим методом можно получить дискретный аналог из уравнения (3.3), но этот метод не так комфортен.

Предположение о всепостоянстве ряда величин на гранях контрольного объема дает возможность применить опыт, приобретенный при анализе одномерной задачки, к двухмерному случаю Метод контрольного объема.

(3.1.8)

где

(3.1.9)

Тут D и Dw подобно Fе и Fw, содержат площадь Δy×1 граней е и w .

Используя выражения для Jn-FnФР и Js-FsФP, можно записать окончательный вид дискретного аналога. Уравнения (3.1.8) свидетельствуют, что правило относительно суммы примыкающих коэффициентов просто производится.

Когда данные поля скорости и плотности удовлетворяют дискретному аналогу уравнения Метод контрольного объема неразрывности, приведенные выше вывод и вывод, основанный на (3.1.4), будут давать схожие дискретные аналоги. Но когда данные поля не удовлетворяют уравнению неразрывности, эти два вывода дают различные уравнения и приводят к различным решениям.

Окончательный вид дискретного аналога.Двухмерный дискретный аналог можно записать в последующем виде:

(3.1.10)

где

(3.1.11)

Тут и обозначают известные значения для времени t Метод контрольного объема, а все другие величины( , , , , и т. д.) представляют собой неведомые величины для времени t+Δt.

Массовые расходы Fе, Fw, Fп и Fs определены уравнениями (3.1.5)-(3.1.6). Надлежащие проводимости представим в виде

(3.1.12)

А числа Пекле

(3.1.13)

Уравнения количества движения

Снова напомним, что при данном поле давления решение уравнений количества движения можно получить при помощи дискретного аналога Метод контрольного объема уравнения для обобщенной переменной Ф. Для уравнения количества движения Ф обозначает одну из составляющих скорости и коэффициенту Г и свободному члену S следует придать соответственный смысл. При использовании шахматной сетки дискретные аналог и уравнений количества движения несколько отличаются от дискретных аналогов уравнений для других Ф, рассчитываемых в Метод контрольного объема узлах основной сетки. Но это отличие относится к несущественным деталям. Оно связано с внедрением для аппроксимации уравнений количества движения контрольных объемов на шахматной сетке.

Рис. 3.2.1 Контрольный объем для и.

Рис. 3.2.2 Контрольный объем для v.

Контрольный объем для уравнения количества движения в направлении оси х показан на рис. 3.2.1. Если подразумевать точки для Метод контрольного объема нахождения только составляющей u, в этом контрольном объеме нет ничего необыкновенного. Его грани лежат меж точкой е и надлежащими примыкающими точками для u. Но он сдвинут по отношению к обыкновенному контрольному объему, расположенному вокруг узловой точки P. Смещение объема вышло исключительно в направлении оси х таким макаром, что Метод контрольного объема перпендикулярные этому направлению грани проходят через главные узловые точки Р и Е. Отсюда видно одно из основных плюсов шахматной сетки: разность рP-рЕ можно использовать для расчета силы давления, действующей на контрольный объем для скорости и.

Для расчета коэффициента диффузии и массового расхода на гранях контрольного объема, показанного на Метод контрольного объема рис. 3.2.1, будет нужно соответственная интерполяция, но можно использовать фактически ту же формулировку. Результирующий дискретный аналог можно записать в виде

(3.2.1)

Тут число примыкающих членов находится в зависимости от размерности задачки. Для двухмерной задачки на рис.3.2.1 показаны четыре точки вне контрольного объема, значения скорости в каких входят в примыкающие члены (3.2.1); в Метод контрольного объема трехмерном случае войдут 6 примыкающих значений и. Значения коэффициентов аnb связаны с воздействием совместных конвективных и диффузионных процессов на гранях контрольного объема. Член b определяется так же, как в (3.1.11),но градиент давления не включен в составляющие источникового члена SС либо SР. С градиентом давления связан последний член в (3.2.1). Потому Метод контрольного объема что требуется найти поле давления, было бы нецелесообразно включать давление в источниковый член уравнения количества движения. Член (рW-рЕ) Ае представляет собой силу давления, действующую на контрольный объем для и, а Ае— площадь поверхности, на которую действует этот перепад давления. В двухмерном случае Ае=Δy×1, в трехмерном Ае=Δy× Δz

Уравнения Метод контрольного объема количества движения в других направлениях аппроксимируются таким же образом. На рис. 3.2.2 показан контрольный объем для уравнения количества движения в направлении оси у; он сдвинут повдоль оси у. Дискретный аналог будет иметь вид

(3.2.2)

где (рP-рN)Ап — соответственная сила давления. В трехмерном случае аналогичное уравнение можно записать для составляющей скорости w.

Уравнения количества Метод контрольного объема движения можно решить исключительно в том случае, если поле давления задано либо каким-то образом найдено. Если при решении использовать неправильное поле давления, отысканное поле скорости не будет удовлетворять уравнению неразрывности.

Выразим такое поле скорости, приобретенное с внедрением приближенного поля давления р*, через u*, v*, w*. Это Метод контрольного объема поле скорости находится в итоге решения последующих уравнений:

(3.2.3)

В этих уравнениях составляющим скорости и давлению приписан верхний индекс *.

Отметим, что точка t лежит на сеточной полосы, направленной повдоль оси z и проходящей через узловые точки Р и Т.

Поправки скорости и давления

Найдем метод улучшения приближенного поля р* таким Метод контрольного объема макаром, чтоб результирующее поле скорости с каждой итерацией лучше удовлетворяло уравнению неразрывности. Представим, что настоящее давление находится из соотношения

p =p* +p' (3.3.1)

где р' назовем поправкой давления. Нужно узнать, как будут изменяться составляющиескорости в согласовании с таким конфигурацией давления. Аналогичным образом введемсоответствующие поправки составляющих скорости:

u= u* + u' ;v= v* + v' ; w= w Метод контрольного объема* + w'(3.3.2)

Вычитая (3.2.3) верхнее уравнение из (3.2.2), получаем

au' =Σau' + ( p' −p' )A.(3.3.3)

Сейчас выбросим член Σаnbu’nb из уравнения.

В итоге получим

a u' = ( p' −p' )A (3.3.4)

либо

u = d p −p (3.3.5)

где

(3.3.6)

Уравнение (3.3.5) назовем поправочной формулой для скорости. Его можно переписать в виде

(3.3.7)

Отсюда видно, какой должна быть поправка к значению скорости ие Метод контрольного объема*, определяемаяпоправками давления, чтоб вышло значение ие.

Аналогичным образом запишем поправочные формулы для других составляющихскорости:

(3.3.8)

Уравнение для поправки давления

Преобразуем уравнение неразрывности в уравнение для поправки давления.

Представим, что плотность р конкретно не находится в зависимости от давления. Смысл этого догадки подвергнется рассмотрению ниже. Вывод уравнений проведен для трехмерного варианта. Просто можно Метод контрольного объема получить уравнения также для одно- и двухмерного случаев. Уравнение неразрывности имеет вид

(3.4.1)

Проинтегрируем это уравнение по показанному на рис. 3.4.1 заштрихованному контрольному объему (на рисунке показано только двухмерное сечение). Напомним, что таковой контрольный объем употреблялся .при выводе дискретного аналога уравнения для обобщенной переменной Ф.

При интегрировании члена дρ/дt представим, что Метод контрольного объема значение плотности во всем контрольном объеме равно ρP. Также будем считать, что значение массовой скорости на всей грани контрольного объема определяется значением составляющей скорости ие в точке е. В согласовании с на сто процентов неявной аппроксимацией представим, что новые значения скорости и плотности (в момент времени t Метод контрольного объема+Δt) преобладают на всем шаге по времени; старенькое значение плотности ρP0 (в момент времени t) будет заходить только из-за наличия члена дρ!дt.

В этих догадках интегрирование уравнения (3.4.1) дает

(3.4.2)

Рис. 3.4.1 Контрольный объем для уравнения неразрывности (заштрихованная область — контрольный объем)

Если сейчас заместо всех составляющих скорости подставить их выражения из Метод контрольного объема поправочных формул для скорости [таких, как (3.3.7)-(3.3.8)], то после группировки соответственных членов получим последующее уравнение для сеточных значений р':

(3.4.3)

Где

(3.4.4)

Потому что значения плотности ρ определены, вообщем говоря, в узловых точках основной сетки, ее значения на границах, такие, как ρе, можно высчитать при помощи подходящей интерполяции. Независимо от используемого метода интерполяции Метод контрольного объема значения ρе для 2-ух контрольных объемов, имеющих общую грань, должны быть согласованы меж собой.

Из (3.4.4) можно созидать, что член b уравнения для поправки давления по существу равен (со знаком минус) левой части дискретного аналога уравнения неразрывности (3.4.2),записанного через значения составляющих скорости с индексом *. Равенство b=0 значит, что эти составляющие Метод контрольного объема совместно с имеющимся значением (ρP0 - ρP) удовлетворяют уравнению неразрывности и не требуется никакой корректировки давления. Таким макаром, член b представляет собой «источник массы», который должен быть скомпенсирован поправками давления (через надлежащие поправки скорости).

Итак, мы получили все уравнения, нужные для определения составляющихскорости и давления. Сейчас можно разглядеть весь метод решения Метод контрольного объема в целом.

Метод SIMPLE

Процедура, разработанная для расчета поля течения, получила заглавие SIMPLE(Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations), что значит полунеявный способ для связывающих давление уравнений. Обсудим смысл этого наименования несколько позже.

Последовательность операций.Ниже перечислены главные операции в порядке их выполнения.

1. Задание поля давления р*.

2. Решение уравнений движения, таких Метод контрольного объема, как уравнения (3.2.3), для получения и*,v*, w*.

3. Решение уравнения для р'.

4. Расчет риз уравнения (3.3.1) методом прибавления р' к р*.

5. Расчет и, v, w с учетом соответственных значений со звездочкой и при помощи формул для поправки скорости (3.3.7)-(3.3.8).

6. Решение дискретных аналогов для других Ф (таких, как температура, концентрация и турбулентные свойства Метод контрольного объема), если они оказывают влияние на поле течения через физические характеристики воды источниковые члены и т. д. (если какое-то определенное Ф не оказывает влияние на поле течения, лучше высчитать его после получения сходимости решения для поля течения).

7. Представление скорректированного давления р как нового р*, возвращение к пт 2 и повторение Метод контрольного объема всей процедуры до того времени, пока не будет получено сходящееся решение.



metod-nepolnoj-vzaimozamenyaemosti-s-primeneniem-veroyatnostnogo-rascheta-osnovi-standartizacii.html
metod-neverbalnogo-semanticheskogo-radikala.html
metod-nyutona-metod-kasatelnih-ili-metod-linearizacii.html