Метод математической индукции - реферат

Брянский Городской Лицей №1

Исследовательская работа на тему:

Способ Математической Индукции

Выполнил

М елешко К онстантин

ученик 10 физико-математического

Брянского Городского Лицея №1

Проверил

Т юкачева О льга И вановна

-2003-

Содержание исследовательской работы

Содержание_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2

Введение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3

Основная часть

Полная и неполная индукция_ _ _ _ _ _ _ _ _3-4

Принцип математической индукции_ _ _ _ _4-5

Способ математической индукции_ _ _ _ _ _ 6

Решение Способом Математической Индукции

К задачкам на суммирование_ _ _ _ _ _ _ _ _ 7

К задачкам на подтверждение Метод математической индукции - реферат неравенств_ _8

К задачкам на делимость _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _11

К задачкам на подтверждение тождеств _ _ _12

К другим задачкам _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13

Заключение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16

Перечень использованной литературы _ _ _ _17

Введение

Слово индукция по-русски значит наведение, а индуктивными именуют выводы, изготовленные на базе наблюдений, опытов, т.е. приобретенные методом заключения от личного к общему.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных Метод математической индукции - реферат науках очень велика. Они дают те положения, из которых позже методом дедукции делаются последующие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на 3-х законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубочайшего продумывания опытнейших данных, а именно законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке долголетних наблюдений датского астролога Тихо Метод математической индукции - реферат Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в предстоящем для уточнения изготовленных догадок. После опытов Майкельсона по измерению скорости света в передвигающейся среде оказалось нужным уточнить законы физики, сделать теорию относительности.

В арифметике роль индукции в значимой степени заключается в том, что она лежит в базе избираемой аксиоматики. После того Метод математической индукции - реферат как долгая практика показала, что прямой путь всегда короче кривого либо ломанного, естественно было сконструировать теорему: для всех 3-х точек А, В и С производится неравенство

.

Лежащее в базе математики понятие «следовать за» тоже появилось при наблюдениях за строем боец, кораблей и другими упорядоченными огромными количествами.

Не следует Метод математической индукции - реферат, но, мыслить, что этим исчерпывается роль индукции в арифметике. Очевидно, мы не должны экспериментально инспектировать аксиомы, логически выведенные из аксиом: если при выводе не было изготовлено логических ошибок, то они постольку верны, так как истинны принятые нами теоремы. Но из данной системы аксиом можно вывести сильно много утверждений. И отбор тех утверждений Метод математической индукции - реферат, которые нужно обосновывать, вновь подсказывается индукцией. Конкретно она позволяет отделить полезные аксиомы от никчемных, показывает, какие аксиомы возможно окажутся верными, и даже помогает наметить путь подтверждения.

Сущность Математической Индукции

Покажем на примере внедрение М етода М атематической И ндукции и в конце создадим обобщающий вывод.

Пусть требуется установить Метод математической индукции - реферат, что каждое натуральное чётное число nв границах 4 < n< 20 представимо в виде суммы 2-ух обычных чисел. Для этого возьмём все такие числа и выпишем надлежащие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Эти девять равенств демонстрируют, что каждое из интересующих нас чисел вправду представляется в виде суммы 2-ух обычных слагаемых.

Таким макаром, полная индукция состоит в том Метод математической индукции - реферат, что общее утверждение доказывается по отдельности в каждом из конечного числа вероятных случаев.

Время от времени общий итог удаётся предвидеть после рассмотрения не всех, а довольно огромного числа личных случаев (так именуемая неполная индукция).

Итог, приобретенный неполной индукцией, остается, но, только догадкой, пока он не подтвержден четким математическим рассуждением, обхватывающим Метод математической индукции - реферат все личные случаи. Другими словами, неполная индукция в арифметике не считается легитимным способом серьезного подтверждения, но является массивным способом открытия новых истин.

Пусть, к примеру, требуется отыскать сумму первых n поочередных нечётных чисел. Разглядим личные случаи:

1=1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

После рассмотрения этих нескольких личных случаев навязывается последующий общий вывод:

1+3+5+…+(2n-1)=n Метод математической индукции - реферат2

т.е. сумма n первых поочередных нечётных чисел равна n2

Очевидно, изготовленное наблюдение ещё не может служить подтверждением справедливости при-

ведённой формулы.

Полная индукция имеет в арифметике только ограниченное применение. Многие достойные внимания математические утверждения обхватывают нескончаемое число личных случаев, а провести проверку для нескончаемого числа случаев мы не в состоянии Метод математической индукции - реферат. Неполная же индукция нередко приводит к неверным результатам.

В почти всех случаях выход из такового рода затруднений заключается в воззвании к особенному способу рассуждений, именуемому способом математической индукции. Он заключается в последующем.

Пусть необходимо обосновать справедливость некого утверждения для хоть какого натурального числаn(к примеру необходимо обосновать, что сумма Метод математической индукции - реферат первых n нечётных чисел равна n2 ). Конкретная проверка этого утверждения для каждого значения nневозможна, так как огромное количество натуральных чисел нескончаемо. Чтоб обосновать это утверждение, инспектируют поначалу его справедливость для n=1. Потом обосновывают, что при любом натуральном значении k из справедливости рассматриваемого утверждения при n=k вытекает Метод математической индукции - реферат его справедливость и при n=k+1.

Тогда утверждение считается доказанным для всех n. По правде, утверждение справедливо при n=1. Но тогда оно справедливо и для последующего числа n=1+1=2. Из справедливости утверждения для n=2 вытекает его справедливость для n=2+

+1=3. Отсюда следует справедливость утверждения для n=4 и т.д. Ясно, что, в Метод математической индукции - реферат конце концов, мы дойдём до хоть какого натурального числа n. Означает, утверждение правильно для хоть какого n.

Обобщая произнесенное, сформулируем последующий общий принцип.

Принцип математической индукции.

Если предложение А( n ), зависящее от натурального числа n , поистине для n =1 и из того, что оно поистине для n = k Метод математической индукции - реферат (где k -любое натуральное число), следует, что оно поистине и для последующего числа n = k +1, то предположение А( n ) поистине для хоть какого натурального числа n .

В ряде всевозможных случаев бывает необходимо обосновать справедливость некого утверждения не для всех натуральных чисел, а только для n> p, где p-фиксированное натуральное число Метод математической индукции - реферат. В данном случае принципматематической индукции формулируется последующим образом.

Если предложение А( n ) поистине при n = p и если А( k ) Þ А( k +1) для хоть какого k > p , то предложение А( n ) поистине для хоть какого n > p .

Подтверждение по способу математической индукции проводиться последующим образом. Поначалу доказываемое утверждение проверяется для Метод математической индукции - реферат n=1, т.е. устанавливается истинность выражения А(1). Эту часть подтверждения именуют базисом индукции. Потом следует часть подтверждения, именуемая индукционным шагом. В этой части обосновывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. обосновывают, что А(k)ÞA(k+1).

Применение Метод математической индукции - реферат способа математической индукции в задачках на суммирование

Применение способа математической индукции в задачках на суммирование

Пример:

Обосновать, что

1+x2 +x3 +x4 +….+xn = , где x 1

Решение.

, как следует, при n=1 формула верна.

Пусть k- хоть какое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.

Докажем тогда

По правде ,

.

Означает, по Метод математической индукции - реферат принципу математической индукции формула верна для хоть какого натурального n.

Примеры внедрения способа математической индукции к подтверждению неравенств.

Обосновать, что при любом натуральном n>1

.

Решение.

Обозначим левую часть неравенства через .

, как следует, при n=2 неравенство справедливо.

Пусть при неком k. Докажем, что и тогда . Имеем , .

Сравнивая и , имеем , т Метод математической индукции - реферат.е. .

При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Потому . Но , означает, и .

Пример 2. Отыскать ошибку в рассуждении.

Утверждение. При любом натуральном n справедливо неравенство .

Подтверждение.

Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некое натуральное число, т.е.

. (1)

Докажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т Метод математической индукции - реферат.е.

.

Вправду, не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства (1) , а к правой 2. Получим справедливое неравенство , либо . Утверждение подтверждено.

Пример 3. Обосновать, что , где >-1, , n – натуральное число, большее 1.

Решение.

При n=2 неравенство справедливо, потому что .

Пусть неравенство справедливо при n=k, где k – некое натуральное число, т Метод математической индукции - реферат.е.

. (1)

Покажем, что тогда неравенство справедливо и при n=k+1, т.е.

. (2)

Вправду, по условию, , потому справедливо неравенство

, (3)

приобретенное из неравенства (1) умножением каждой части его на . Перепишем неравенство (3) так: . Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое , получим справедливое неравенство (2).

Пример 4. Обосновать, что

(1)

где , , n – натуральное число, большее 1.

Решение.

При n Метод математической индукции - реферат=2 неравенство (1) воспринимает вид

. (2)

Потому что , то справедливо неравенство

. (3)

Прибавив к каждой части неравенства (3) по , получим неравенство (2).

Этим подтверждено, что при n=2 неравенство (1) справедливо.

Пусть неравенство (1) справедливо при n=k, где k – некое натуральное число, т.е.

. (4)

Докажем, что тогда неравенство (1) должно быть справедливо и при n=k+1, т.е Метод математической индукции - реферат.

(5)

Умножим обе части неравенства (4) на a+b. Потому что, по условию, , то получаем последующее справедливое неравенство:

. (6)

Для того чтоб обосновать справедливость неравенства (5), довольно показать, что

, (7)

либо, что то же самое,

. (8)

Неравенство (8) равносильно неравенству

. (9)

Если , то , и в левой части неравенства (9) имеем произведение 2-ух положительных чисел. Если , то , и в Метод математической индукции - реферат левой части неравенства (9) имеем произведение 2-ух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство (9) справедливо.

Этим подтверждено, что из справедливости неравенства (1) при n=k следует его справедливость при n=k+1.

Способ математической индукции в решении задач на делимость.

При помощи способа математической индукции можно обосновывать разные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел Метод математической индукции - реферат.

Последующее утверждение можно сравнимо просто обосновать. Покажем, как оно выходит при помощи способа математической индукции.

Пример 1 . Если n – натуральное число, то число четное.

При n=1 наше утверждение поистине: - четное число. Представим, что - четное число. Потому что , a 2k – четное число, то и четное. Итак, четность подтверждена при n=1, из Метод математической индукции - реферат четности выведена четность .Означает, четно при всех натуральных значениях n.

Пример 2. Обосновать истинность предложения

A(n)={число 5 кратно 19}, n – натуральное число.

Решение.

Выражение А(1)={число кратно 19} поистине.

Представим, что для некого значения n=k

А(k)={число кратно 19} поистине. Тогда, потому что

, разумеется, что и A(k+1) поистине. Вправду, 1-ое слагаемое делится на 19 в Метод математической индукции - реферат силу догадки, что A(k) поистине; 2-ое слагаемое тоже делится на 19, так как содержит множитель 19. Оба условия принципа математической индукции выполнены, как следует, предложение A(n) поистине при всех значениях n.

Подтверждение тождеств при помощи способа математической индукции

Обосновать , что при всех допустимых значениях x имеет место тождество:

Решение Метод математической индукции - реферат. Нужно обосновать , что тождество справедливо при всех x , не считая x =0, 1, -1.

При n =1 имеем:

,

т.е. при n=1 тождество производится.

Представим , что

Докажем , что тогда

Имеем:

Итак, тождество правильно для хоть какого натурального числа n .

Способ математической индукции в применение к другим задачкам.

Более естественное применение способа математической индукции в Метод математической индукции - реферат геометрии, близкое к использованию этого способа в теории чисел и в алгебре, - это применение к решению геометрических задач на вычисление. Разглядим несколько примеров.

Пример 1. Вычислить сторону правильного - угольника, вписанного в круг радиуса R.

Решение.

При n=2 верный 2n – угольник есть квадрат; его сторона . Дальше, согласно формуле удвоения

находим Метод математической индукции - реферат, что сторона правильного восьмиугольника , сторона правильного шестнадцатиугольника , сторона правильного тридцатидвухугольника . Можно представить потому, что сторона правильного вписанного 2n – угольника при любом равна

. (1)

Допустим, что сторона правильного вписанного - угольника выражается формулой (1). В таком случае по формуле удвоения

,

откуда следует, что формула (1) справедлива при всех n.

Пример 2. На сколько треугольников n-угольник (не непременно выпуклый Метод математической индукции - реферат) может быть разбит своими непересекающимися диагоналями?

Решение.

Для треугольника это число равно единице (в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали); для четырехугольника это число равно, разумеется, двум.

Представим, что мы уже знаем, что каждый k-угольник, где k


Аn


А1 А2

Пусть А1 Аk – одна из диагоналей этого разбиения; она разделяет n-угольник А1 А2 …Аn на k-угольник A1 A2 …Ak и (n-k+2)-угольник А1 Аk Ak +1 …An . В силу изготовленного догадки, общее Метод математической индукции - реферат число треугольников разбиения будет равно

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

тем наше утверждение подтверждено для всех n.

Пример 3. Указать правило вычисления числа P(n) методов, которыми выпуклый n-угольник может быть разбит на треугольники непересекающимися диагоналями.

Решение.

Для треугольника это число равно, разумеется, единице: P(3)=1.

Представим, что мы уже обусловили числа Метод математической индукции - реферат P(k) для всех k

При помощи этой формулы поочередно получаем:

и т.д.

Так же с помощью способа математической индукции можно решать задачки с графами.

Пусть на плоскости задана сеть линий, соединяющих меж собой какие-то точки и не имеющие других точек. Такую сеть линий мы будем Метод математической индукции - реферат именовать картой , данные точки ее верхушками , отрезки кривых меж 2-мя смежными верхушками – границами карты, части плоскости, на которые она разбивается границами – странами карты.

Пусть на плоскости задана некая карта. Мы будем гласить, что она верно раскрашена , если любая ее страна закрашена определенной краской, при этом любые две страны Метод математической индукции - реферат, имеющие меж собой общую границу, закрашены в различные цвета.

Пример 4. На плоскости дано n окружностей. Обосновать, что при любом расположении этих окружностей образуемую ими карту можно верно раскрасить 2-мя красками.

Решение.

При n=1 наше утверждение разумеется.

Представим, что наше утверждение справедливо для хоть какой карты, образованной n окружностями, и пусть на Метод математической индукции - реферат плоскости задано n+1 окружностей. Удалив одну из этих окружностей, мы получим карту, которую в силу изготовленного догадки можно верно раскрасить 2-мя красками, к примеру темной и белоснежной.

Восстановим потом отброшенную окружность и по одну сторону от нее (к примеру, снутри) изменим цвет каждой области на обратный Метод математической индукции - реферат (т.е. темный – на белоснежный и напротив); просто созидать, что при всем этом мы получим карту, правильную раскрашенную 2-мя красками.

Пример 5. Для того чтоб карту можно было верно раскрасить 2-мя красками, нужно и довольно, чтоб в каждой ее верхушке сходилось четное число границ.

Решение.

Необходимость этого условия разумеется, потому что если в Метод математической индукции - реферат какой-либо верхушке карты сходится нечетное число границ, то уже страны, окружающие эту верхушку, нельзя верно раскрасить 2-мя красками.


А В

Для подтверждения достаточности условия проведем индукцию по числу границ карты.

Для карты с 2-мя границами утверждение разумеется.

Представим, что утверждение справедливо для хоть какой карты, в каждой верхушке которой Метод математической индукции - реферат сходится четное число границ и общее число границ которой не превосходит n, и пусть дана карта S, имеющая n+1 границ и удовлетворяющая тому же условию. Начиная с случайной верхушки А карты S, станем двигаться в случайном направлении повдоль границ карты. Ввиду конечности числа вершин карты мы вернемся в конце Метод математической индукции - реферат концов в одну из уже проведенных вершин (карта не имеет последних вершин, так как на ней нет неразделяющих границ) и сможем выделить некий не имеющий самопересечений замкнутый контур, состоящий из границ карты. Удалив этот контур, мы получим контур S1 с наименьшим числом границ, в каждой верхушке которой также сходится Метод математической индукции - реферат четное число границ (так как в каждой верхушке карты S отбрасывается четное число границ – 0 либо 2). В силу индуктивного догадки карту S1 можно верно раскрасить 2-мя красками.

Восстановив отброшенный контур и изменив все цвета с одной стороны от него (к примеру, снутри), мы и получим правильную раскраску Метод математической индукции - реферат карты S.


metod-primikayushih-cvetov.html
metod-privedeniya-potokov-stoimosti-v-sopostavimij-vid-na-moment-starta-proekta-discounting.html
metod-proekta-kak-odna-iz-form-razvivayushego-obucheniya-fajzullina-regina-rinatovna.html