Метод наименьших квадратов (МНК)

Линейную функцию ищем, исходя только из некого количества имеющихся наблюдений. Для нахождения функции с лучшим соответствием наблюдаемым значениям используем способ меньших квадратов.



Рис.4. Пояснение к оценке коэффициентов способом меньших квадратов

Обозначим: - значение, вычисленное по уравнению

- измеренное значение,

- разность меж измеренными и вычисленными по уравнению значениям,

.

Вспособе меньших квадратов требуется, чтоб , разность Метод наименьших квадратов (МНК) меж измеренными и вычисленными по уравнению значениям , была малой. Как следует, находимо подобрать коэффициенты а и так, чтоб сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от значений на прямой полосы регрессии оказалась меньшей:

.

Это условие достигается если характеристики а и будут вычислены по формулам :

(2)

(3)

именуют коэффициентом регрессии; именуют свободным членомуравнения регрессии.

Приобретенная ровная является Метод наименьших квадратов (МНК) оценкой для теоретической полосы регрессии. Имеем

.

Итак, является уравнением линейной регрессии.

Регрессия может быть прямой и оборотной .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Оборотная регрессия значит, что при росте 1-го параметра, значения другого параметра уменьшаются.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Ровная регрессия значит, что при росте 1-го параметра, значения другого параметра тоже растут.

Пример.Данному уровню употребления пресной Метод наименьших квадратов (МНК) воды на санитарно – бытовые нужды в л/чел. день в n населенных пт соответствует огромное количество значений уровня общей заболеваемости в %. При всем этом отмечается, что с ростом наблюдается уменьшение . Это – оборотная, отрицательнаякорреляционная связь. (Рис. 5)

Пример 2.Возрастание уровня заразной заболеваемости в % при увеличении плотности рабочих мест в производственном помещении , чел. – является примером прямой, положительной корреляционной Метод наименьших квадратов (МНК) связи. (Рис. 6)


Рис. 5. Поле наблюдений при оборотной корреляционной

связи меж фактором и параметром


Рис. 6. Поле наблюдений при прямой корреляционной

связи меж фактором и параметром

Проверка догадки о значимости коэффициента регрессии.

Не всегда можно утверждать, что предполагаемая линейная зависимость вправду имет место.

Построив модель, описывающую конфигурации величин, нужно найти верна ли она Метод наименьших квадратов (МНК).

В регрессионном анализе инспектируют догадки о значимости свободного члена а и о значимости коэффициента регрессии .

1. Определяем догадки H0 и H1:

H0: =0 (меж величинами нет линейной зависимости),

H1: ≠0 (меж величинами есть линейная зависимость)

2. Зададим уровень значимости α.

3. Статистика аспекта.

, где

4. Критичные точки и критичная область. Статистика F имеет рассредотачивание Метод наименьших квадратов (МНК) Фишера с 1 и (n-2) степенями свободы. Fα,1,n-2

5. Если , то H0 отвергается, т.е. можно прийти к выводу, что линейная зависимость значима.

Если , то у нас нет оснований отторгать H0, т.е. можно прийти к выводу, что линейная зависимость – незначима либо что данные нельзя обрисовать моделью линейной регрессии.

Корреляционный анализ.

Для Метод наименьших квадратов (МНК) довольно полного описания особенностей корреляционной зависимости меж величинами недостаточно найти форму этой зависимости и в случае линейной зависимости обрисовать ее вид по величине коэффициента регрессии. Нужно так же оценить тесноту связи.

Корреляционный анализ экспериментальных данных для 2-ух случайных величин заключает внутри себя последующие главные приемы:

1. Вычисление выборочных Метод наименьших квадратов (МНК) коэффициентов корреляции.

2. Составление корреляционной таблицы.

3. Проверка статистической догадки значимости связи.

Линейная корреляция

ОПРЕДЕЛЕНИЕ:Корреляционная зависимость меж случайными величинами Х и именуется линейной корреляцией, если обе функции регрессии и являются линейными. В данном случае обе полосы регрессии являются прямыми; они именуются прямыми регрессии.


metod-serijnih-razvedenij.html
metod-simmetrichnih-sostavlyayushih-lekciya-n-16.html
metod-sistemosovokupnostej.html