Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации)

Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации)

Этот способ в отличие от ранее рассмотренных не просит за ранее указывать интервал, в каком размещается корень уравнения. Для начала работы требуется задать только одну исходную точку x0, расположенную поблизости от предполагаемого корня. Направление поиска определяется из этой точки при помощи линейной экстраполяции f(x). Таким макаром, при начале расчета из данной Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации) точки x0 определяется точка x1, потом из точки x1 рассчитывается x2 и т.д.. Продолжение этого процесса дальше дает последовательность чисел x0, x1, x2, x3, …, xi, … поочередно приближающихся к корню уравнения. Для получения итерационной формулы способа Ньютона воспользуемся разложением функции f(x) в округи точки xi в ряд Тейлора Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации):

где f'(x),if"(x) иif'"(x) –i 1-ая, 2-ая и 3-я производные от функ-

ции f (x) по x.

Сократим (10), отбросив слагаемые, содержащие ∆x во 2-ой и поболее

больших степенях. Тогда

Полагая дальше, что в округах xi имеется точка xi+1 = xi + ∆x, в какой

функция f ( +1x)=i(f+x∆i Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации)) xравна нулю, получим линейное уравнение

из которого найдем xi+1:

Это соотношение является итерационной формулой способа Ньютона. Метод способа Ньютона представлен на рис. 7. Получаемые способом Ньютона точки xi образуют ряд чисел x0, x1, x2, x3, …, который сходится к четкому решению, другими словами к корню уравнения. Из (11) следует, что Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации) каждый шаг способа Ньютона просит большего объема вычислений чем, к примеру, способ половинного деления, потому что приходится отыскивать значение не только лишь функции f(x), да и ее производной. Невзирая на это способ Ньютона и его модификации обширно употребляются на практике. Это обосновано, во-1-х, тем, что он не Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации) просит задания отрезка [a, b], содержащего корень, а может стартовать от одной исходной точки. Во-2-х, он имеет более высшую скорость сходимости, чем ранее рассмотренные способы. На теоретическом уровне можно показать, что способ Ньютона позволяет получить квадратичную сходимость. Это значит, что на каждой итерации погрешность (отклонение еще одного приближения Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации) xi от четкого решения) миниатюризируется по квадратичному закону, другими словами количество верных означающих цифр решения умножается.

Если на следующем шаге достигнута погрешность менее 0,5 то за пять-шесть итераций она уменьшится до величины порядка 2–64, что сравнимо с погрешностью вычислений на ЭВМ. В способе половинного деления для заслуги таковой же погрешности количество Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации) итераций потребовалось бы прирастить более чем на порядок. На рис. 8, а представлен ход решения способом Ньютона в графическом виде.

При использовании способа Ньютона следует учесть ряд его особенностей. Одна из их состоит в необходимости правильного выбора исходного приближения. Чтоб осознать, как оказывает влияние выбор исходной точки на работу способа, попытайтесь графически Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации) отыскать решение для рис. 8, начав его из точки x0 = a. Способ Ньютона обладает локальной сходимостью, другими словами способен отыскать корень, если изначальное приближение задано в некой малой его округи. Если же изначальное приближение взято безуспешно и функция немонотонна, способ может дать расходящуюся последовательность xi (см. п. 1.5). Другая неувязка Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации) состоит в том, что производная f'(x) в (11) находится в знаменателе. Это значит, что f'(x) не должна обращаться в ноль, потому что в неприятном случае итерационная формула перестает работать. Трудности могут появиться и в этом случае, если f'(x)не равна нулю, но довольно мала, вследствие чего Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации) итог деления f (x)f'(x) возможно окажется неприемлемо огромным. В почти всех математических пакетах, к примеру, в MathCAD и MATLAB эти препядствия решаются применением комбинированных алгоритмов, сочетающих плюсы разных способов, к примеру, способа половинного деления и способа Ньютона. 1-ый обеспечивает устойчивую сходимость и употребляется на исходном шаге Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации) решения, а после некого числа итераций врубается 2-ой, резвее приближающийся к корню уравнения.

A=0.01; R=10;

f=@(L)0.14.*(0.418+0.086.*(L./R).^2)./(R.*(L.^0.5).*((1-0.086.*(L./R).^2)).^0.5)-A;

L=21:0.1:33.9;

y=f(L);

figure(1);

plot(L,y); grid on;

xlabel('L'); ylabel('y');

L=31;%изначальное приближение

dL=1e-1;%маленькое приращение аргумента

TOL=1e-1; %точность поиска решений

for Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации) i=1:1000

fL=f(L);

df=(f(L+dL)-f(L))/dL;%производная

Li=L-f(L)/df;

if абс(Li-L)

break;

end

L=Li;

end

fprintf('otvet: L=%g, f(L)=%g (%i iteraciy) \n', Li,fL,i)

%стандартное решение

L1=fzero(f,32);

fprintf('стандартное решение: L=%g, f(L)=%g (%i iteraciy) /n Метод Ньютона (метод касательных или метод линеаризации)', Li,fL,i)

otvet: L=32.2641, f(L)=7.67933e-008 (6 iteraciy)

стандартное решение: L=32.2641, f(L)=7.67933e-008 (6 iteraciy) /n>>


metod-uzlovih-i-konturnih-uravnenij-sostavlennih-po-zakonam-kirhgofa.html
metod-uzlovogo-napryazheniya.html
metod-verbalnih-viborov.html