Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса)

При помощи коэффициентов и свободных членов составляется расширенная матрица

,

над строчками которой можно произвести последующие простые преобразования. Разрешается поменять порядок строк; добавлять к элементам случайной строчки элементы другой строчки, умноженное на хоть какое хорошее от нуля число. При всем этом необходимо стараться свести расширенную матрицу к «треугольному» виду, т.е. к виду Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса), когда все элементы ниже (либо выше) главной диагонали равны нулю. Из приобретенной расширенной матрицы решение находится конкретно:

.

т.е. и т.д.

@ Задачка 2. Решить систему уравнений: .

Решение: Составляем расширенную матрицу и сводим ее к «треугольному» виду:

Þ Þ .

После чего несложно отыскать решения:

– 14x3 = – 14: x3 = 1; – 3x2 – 2x3 = – 2; x2 = 0;

x Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса)1 + 2x2 + 3x3 = 2; x1 = –1.

§2.2. Система линейных алгебраических уравнений, содержащая

m уравнений и n неведомых

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неведомых, именуется система вида

.

Система уравнений именуется совместной, если она имеет, хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет ни 1-го решения. Ответ на совместность системы дает аксиома Кронекера Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса)-Капелли.

Аксиома Кронекера-Капелли. Система линейных алгебраических уравнений совместна и тогда только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы.

Аксиома. Если ранг совместной системы равен числу неведомых, то система имеет единственное решение.

Аксиома. Если ранг совместной системы меньше числа неведомых, то система имеет нескончаемое огромное количество решение Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса).

Решение системы находится последующим образом. Находим ранг матрицы, избираем какой-нибудь базовый минор порядка r и r уравнений, с коэффициентами базового минора (другие уравнения отбрасываем). Решаем систему избранных уравнений. Если r = n, то получим единственное решение, а если r < n, то получим нескончаемое огромное количество решений.

@ Задачка 3. Отыскать решение системы

.

Решение: Ранги основной Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса) матрицы и расширенной матрицы равны 2. Потому отбрасываем одно уравнение (можно третье уравнение) и решаем полученную систему уравнений:

.

Обозначив x3 = с, получим решение (2 – с, 1, с).

§2.3. Система линейных однородных уравнений

Система линейных уравнений (1) с нулевыми свободными членами b1= b2= ¼ = bn = 0 именуется системой линейных однородных уравнений.

Система линейных однородных Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса) уравнений имеет нулевое (банальное) решение при D ¹ 0 и ненулевое нескончаемое огромное количество решений при D = 0.

@ Задачка 3. Отыскать решение системы .

Решение: Находим определитель . Потому что детерминант равен нулю, то ранг матрицы не равен 3. Просто проверить, что ранг матрицы равен 2. После чего убираем одно из уравнений, к примеру, третье уравнение Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса) и решаем полученную систему

, т.е. находим x1 и x2 через x3 = с. После подстановки x3 = с получим систему уравнений . Решая эту систему, находим x1 = 2x3 = 2с; x2 = – x3 = – с. Итак, решение системы линейных однородных уравнений имеет вид (2c, – c, c).

Испытания по теме №2

1. Решить систему уравнений:

R

£

£

2. Решить систему Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса) уравнений:

R

£

£

3. Решить систему:

R y = хоть какое число, x = 5 + 2y.

£ y = хоть какое число, x = 3 - 2y.

£ y = хоть какое число, x = 1 + 3y.

4. Решить систему уравнений:

R

£

£

5. Решить систему:

£ x = 12 , у = 14, z = 2.

R x = -22 , у = 14, z = 2.

£ x = 11 , у = 12, z = 5.

£ x = 16 , у = 10, z = 4.

6. Решить систему уравнений:

R 4; 2; 1.

£ 1; 6; 0.

£ -3; 2; -1.

7. Решить систему 2-ух уравнений Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса):

£ x=-1; y = 1.

£ x=2; y = 4.

R x=3; y = -1.

8. Решить систему уравнений:

£ 1; 1; 3.

£ 4; -2; 0.

R 3; 1; 2.

9. Решить систему уравнений:

R 1; -2; 3.

£ 2; 3; 4.

£ -1; -2; 3.

10. Решить систему:

R -1; 3; 1.

£ 2; 1; -1.

£ 3; 0; 2.


ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Улучшение способов хозяйственной деятельностью почти во всем связано с применением в экономической науке и практике различных математических способов исследования. В связи с этим в текущее время математические дисциплины имеют только принципиальное значение как Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса) для всего процесса обучения в экономическом институте (они нужны для удачного усвоения таких особых дисциплин в образовании экономиста как информатика, финансовая статистика, эконометрика, новые информационные технологии и др.), так и для следующей деятельности спеца.

Развитие математической культуры студента должно включать в себя ясное осознание необходимости математической составляющей Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса) в общей подготовке экономиста, выработку представления о роли и месте арифметики в современной цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математическую символику для выражения количественных и высококачественных отношений.

Литература

1. Высшая математика: Учебник / В.А. Ильин и др. – М.: ВЕЛБИ, 2010.

2. Высшая математика для экономистов: Учебник Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса) /.Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ , 2008.

3. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум / часть1-2 / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2005.

4. Начала денежной арифметики / Г.П. Башарин. – М.: ИНФРА-М, 1998.

5. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие /Под ред. В.Е Метод последовательных исключений неизвестных (метод Гаусса). Гмурмана.- 1 2 –е изд. – М.: Высшее образование, 2010.


metod-kapitalizacii-osnovan-na-analize-naibolee-effektivnogo-ispolzovaniya-nedvizhimosti-i-etot-analiz-svyazan-s-opredeleniem-togo-vida-ispolzovaniya-kotorij-budet-prinosit-vladelcu-maksimalnij-dohod.html
metod-kislotno-osnovnogo-titrovaniya.html
metod-kolichestvennogo-opredeleniya-ergotamina-v-sporine.html