Метод разделения переменных

Способ разделения переменных обширно употребляется для обоснования стойкости многих линейных разностных схем. С помощью этого способа устанавливается устойчивость в норме .

Разглядим применение способа разделения переменных на примере очевидной разностной схемы решения уравнения теплопроводимости (26), данной на равномерной сетке 0 = x0 < x1 < … < xN = a:

. (71)

Погрешность решения уравнения (71) удовлетворяет такому же уравнению, т.е Метод разделения переменных.

. (71¢)

Решение уравнения (71¢) будем находить способом разделения переменных, т.е. в виде

. (72)

Подставляя (72) в (71¢), находим

. (73)

Можно сконструировать последующий признак стойкости. Схема (71) с неизменными коэффициентами устойчива по исходным данным, если для всех q производится неравенство

, C = const. (74)

Подтверждение. Система функций , q = 0,1,…,N - 1 полна и ортогональна на равномерной сетке xn, n Метод разделения переменных = 0,1,…,N. Разложим произвольную ошибку исходных данных в ряд Фурье по приведенной выше системе функций, тогда

.

В силу линейности уравнения (71¢) и представления (72), можно записать

.

Используя ортогональность гармоник, находим

(75)

Беря во внимание (74), (75), получаем выражение

,

которое совпадает с признаком стойкости по исходным данным (60), т.е. утверждение подтверждено.

Применим признак стойкости по исходным данным (74) к оценке Метод разделения переменных (73). При C = 0 можно отыскать, что при всех q = 0,1,…,N - 1, когда , т.е. схема (71) является условно устойчивой.

Операторные неравенства

Общая теория стойкости разностных схем, основанная на установлении неравенств меж разностными операторами, построена А.А. Самарским[5]. Эта теория позволяет для многих линейных систем получить нужные и достаточные условия стойкости. Разглядим одно из таких Метод разделения переменных критерий стойкости.

Напомним некие характеристики операторов, отображающих гильбертово место на себя. Оператор A именуется неотрицательным (A ³ 0), если (Ax,x) ³ 0 для хоть какого ненулевого вектора x Î H, именуется положительным (A > 0) при (Ax,x) > 0 и положительно определенным при (Ax,x) ³ e (x,x), e > 0. Неравенство A ³ B понимается в Метод разделения переменных том смысле, что A - B ³ 0. С помощью положительного оператора A можно ввести так именуемую энергетическую норму : .

Оператор A именуется самосопряженным, если (Ax,y) = (x,Ay) для всех x,y Î H. Квадратным корнем из самосопряженного неотрицательного оператора A именуется таковой оператор B, что B×B = A Метод разделения переменных. Оператор B обозначают A1/2, он существует, является самосопряженным и неотрицательным.

Исследуем устойчивость двуслойной разностной схемы, которая представлена в так именуемой канонической форме:

. (76)

Аксиома. Если операторы A и B самосопряженные, не зависят от номера слоя m и производится условие

, (77)

то схема (76) устойчива по исходным данным в энергетической норме , т.е.

. (78)

Подтверждение. Для Метод разделения переменных исследования стойкости по исходным данным правую часть можно откинуть. Полагая j = 0 и умножая (76) слева на A1/2B-1, найдем

. (79)

Введем новейшую переменную и преобразуем разностную схему (79) к виду

,

при всем этом оператор S является самосопряженным.

Перепишем неравенство (77) в виде:

. (80)

Умножим неравенство (80) слева и справа на положительный оператор A1/2, тогда

либо в другой форме

.

Последнее неравенство позволяет Метод разделения переменных записать последующую оценку

. (81)

Норма же связана с энергетической нормой обычным соотношением:

. (82)

Из (81), (82) следует (78). Аксиома подтверждена.

Сходимость

Разглядим дифференциальное уравнение с граничными критериями

. (83)

Для задачки (83) определим аппроксимирующую ее разностную схему на сетке, состоящей из постоянных и нерегулярных узлов wh, gh соответственно:

. (84)

Для исследования вопроса о сходимости нас будет заинтересовывать близость разностного Метод разделения переменных решения y(x) и четкого решения u(x) на сетке wh + gh, при всем этом для сопоставления естественно использовать одну из сеточных норм.

Определение. Разностное решение y(x) задачки (84) сходится к решению u(x) дифференциальной задачки (83), если

;

разностное решение имеет порядок точности p, если

.

Определение. Разностная задачка (84) корректна, если ее решение существует Метод разделения переменных и единственно при всех входных данных j и c из соответственных классов и схема устойчива.

Теорема[6]. Если решение u(x) задачки (83) существует, разностная схема (84) корректна и аппроксимирует задачку (83) на данном решении, то разностное решение сходится к четкому.

Подтверждение. Запишем цепочку преобразований:

,

где y(x) — невязка разностной схемы Метод разделения переменных. Проводя подобные преобразования для граничных критерий, получим

(85)

Сравнивая (84) и (85), можно узреть, что уравнения (85) являются разностными уравнениями (84) с измененной за счет невязки правой частью.

Так как разностная схема устойчива, постольку для хоть какого e > 0 найдется такое d(e), что , если и .

По определению аппроксимации для хоть какого d > 0 найдется такое h Метод разделения переменных0(d), что и при h £ h0(d).

Таким макаром, для хоть какого e > 0 найдется такое h0(d(e)), что при h £ h0(d(e)), т.е. имеет место сходимость. Аксиома подтверждена.


[1] Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный опыт. Методология и практика. — М.: Едиториал УРСС. 2003.

[2] Тихонов А.Н., Самарский Метод разделения переменных А.А. Уравнения математической физики. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1972; Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в личных производных математической физики. — М.: Высшая школа, 1970.

[3] Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур/ Сб. статей/ Ред. Г.Г. Малинецкий/ Кибернетика: неограниченные способности и Метод разделения переменных вероятные ограничения. — М.: Наука, 1999. 255с.

© Из локальной близости функций следует их среднеквадратическая близость, потому ||·||C именуют более сильной, чем .

[4] Определение понятия стойкости, обозначения и подтверждения теорем с некими модификациями взяты из учебного пособия: Калиткин Н.Н. Численные способы. — М.: Наука, Основная ред. физ.-мат. лит., 1978.

[5] Самарский А.А. Теория Метод разделения переменных разностных схем. — М.: Наука, Главн. ред. физ.-мат. литературы, 1977.

[6] Данная аксиома коротко еще формулируется таким макаром: “Из аппроксимации и стойкости следует сходимость”.


metod-proizvedenij-dlya-vichisleniya-viborochnih-srednej-i-dispersii.html
metod-pryamogo-osredneniya-sglazhivaniya.html
metod-pryamoj-mozgovoj-ataki.html