Метод симметричных составляющих - Лекция n 16

^ Способ симметричных составляющих


Способ симметричных составляющих относится к особым способам расчета трехфазных цепей и обширно применяется для анализа несимметричных режимов их работы, в том числе с нестатической нагрузкой. В базе способа лежит Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 представление несимметричной трехфазной системы переменных (ЭДС, токов, напряжений и т.п.) в виде суммы 3-х симметричных систем, которые именуют симметричными составляющими. Различают симметричные составляющие прямой, оборотной и нулевой последовательностей, которые различаются порядком Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 чередования фаз.

Симметричную систему прямой последовательности образуют (см. рис. 1,а) три схожих по модулю вектора  и  со сдвигом друг по отношению к другу на  рад., при этом  отстает от , а  - от .

 



Введя, оператор поворота , для Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 симметричной системы прямой последовательности можно записать

.

Симметричная система оборотной последовательности образована равными по модулю векторами  и  с относительным сдвигом по фазе на  рад., при этом сейчас  отстает от , а  - от  (см Метод симметричных составляющих - Лекция n 16. рис. 1,б). Для этой системы имеем

.

Система нулевой последовательности состоит из 3-х векторов, схожих по модулю и фазе (см. рис. 1,в):

.

При сложении 3-х обозначенных систем векторов выходит несимметричная система векторов (см. рис. 2).

Неважно какая Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 несимметричная система совершенно точно раскладывается на симметричные составляющие. Вправду,



;     

(1)




;  

(2)






(3)

  Таким образом, получена система из 3-х уравнений относительно 3-х неведомых , которые, как следует, определяются совершенно точно. Для нахождения  сложим уравнения Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 (1)…(3). Тогда, беря во внимание, что , получим



(4)

Для нахождения  умножим (2) на , а (3) – на , после этого приобретенные выражения сложим с (1). В итоге приходим к соотношению

.

(5)

Для определения  с соотношением (1) складываем уравнения (2) и (3), за ранее умноженные Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 соответственно на  и . В итоге имеем:



(6)

Формулы (1)…(6) справедливы для хоть какой системы векторов , в том числе и для симметричной. В последнем случае .

В заключение раздела отметим, что кроме вычисления симметричные составляющие могут быть измерены при Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 помощи особых фильтров симметричных составляющих, применяемых в устройствах релейной защиты и автоматики.

 

^ Характеристики симметричных составляющих токов
и напряжений разных последовательностей

Разглядим четырехпроводную систему на рис. 3. Для тока в нейтральном проводе имеем

.

Тогда Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 с учетом (4)



,

(7)

т.е. ток в нейтральном проводе равен тройному току нулевой последовательности.

Если нейтрального провода нет, то  и соответственно нет составляющих тока нулевой последовательности.

Так как сумма линейных напряжений равна нулю Метод симметричных составляющих - Лекция n 16, то в согласовании с (4) линейные напряжения не содержат составляющих нулевой последовательности.

Разглядим трехпроводную несимметричную систему на рис. 4.

Тут



Тогда, просуммировав эти соотношения, для симметричных составляющих нулевой последовательности фазных напряжений можно записать

.

Если система ЭДС генератора симметрична, то Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 из последнего получаем

.

(8)

Из (8) вытекает:

При соединении нагрузки в треугольник фазные токи  и  могут содержать симметричные составляющие нулевой последовательности . При всем этом  (см. рис. 5) циркулирует по контуру, образованному фазами нагрузки.



 

^ Сопротивления симметричной трехфазной цепи
для токов Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 разных последовательностей

Если к симметричной цепи приложена симметричная система фазных напряжений прямой (оборотной либо нулевой) последовательностей, то в ней появляется симметричная система токов прямой (оборотной либо нулевой) последовательности. При использовании способа Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 симметричных составляющих на практике симметричные составляющие напряжений связаны с симметричными составляющими токов той же последовательности. Отношение симметричных составляющих фазных напряжений прямой (оборотной либо нулевой) последовательности к подходящим симметричным составляющим токов именуется всеохватывающим Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 сопротивлением прямой

,

оборотной



и нулевой



последовательностей.

Пусть имеем участок цепи на рис. 6. Для фазы А этого участка можно записать

.  

(9)

Тогда для симметричных составляющих прямой и оборотной последовательностей с учетом, того, что , на основании (9) имеем

         .

Отсюда всеохватывающие сопротивления Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 прямой и оборотной последовательностей схожи и равны:

.

Для симметричных составляющих нулевой последовательности с учетом равенства  соотношение (9) трансформируется в уравнение

,

откуда всеохватывающее сопротивление нулевой последовательности

.

В рассмотренном примере получено равенство сопротивлений прямой и оборотной Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 последовательностей. В общем случае эти сопротивления могут отличаться друг от друга. Более обычный пример – различие сопротивлений вращающейся машины для токов прямой и оборотной последовательностей за счет неоднократной различия в скольжении ротора относительно вращающегося Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 магнитного поля для этих последовательностей. 

 

^ Применение способа симметричных составляющих
для симметричных цепей

Расчет цепей способом симметричных составляющих основывается на принципе наложения, в виду чего способ применим только к линейным цепям. Согласно Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 данному способу расчет осуществляется в отдельности для составляющих напряжений и токов разных последовательностей, при этом в силу симметрии режимов работы цепи для их он проводится для одной фазы (фазы А). После чего в согласовании Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 с (1)…(3) определяются реальные разыскиваемые величины. При расчете следует держать в голове, что, так как в симметричном режиме ток в нейтральном проводе равен нулю, сопротивление нейтрального провода никак ни оказывает влияние на Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 симметричные составляющие токов прямой и оборотной последовательностей. Напротив, в схему замещения для нулевой последовательности на основании (7) вводится утроенное значение сопротивления в нейтральном проводе. С учетом вышесказанного начальной схеме на рис. 7,а Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 соответствуют расчетные однофазовые цепи для прямой и оборотной последовательностей (рис. 7,б) и нулевой последовательности (рис. 7,в).



Значительно труднее обстоит дело при несимметрии сопротивлений по фазам. Пусть в цепи на рис. 3 . Разложив токи Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 на симметричные составляющие, для данной цепи можно записать

  

(10)

В свою очередь



(11)

Подставив в (11) значения соответственных характеристик из (10) после группировки членов получим



(12)

где ;

      

Из приобретенных соотношений видно, что если к несимметричной цепи приложена несимметричная система напряжений, то любая Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 из симметричных составляющих токов находится в зависимости от симметричных составляющих напряжений всех последовательностей. Потому, если б трехфазная цепь на всех участках была несимметрична, рассматриваемый способ расчета не давал бы преимуществ. На практике система Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 в главном является симметричной, а несимметрия обычно носит локальный нрав. Это событие, как будет показано в последующей лекции, существенно упрощает анализ.

На всех участках цепи, где сопротивления по фазам схожи,  для Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 i¹k. Тогда из (12) получаем

.

 

Литература

  1. Базы теории цепей: Учеб. для вузов /Г.В.Зевеке, П.А.Ионкин, А.В.Нетушил, С.В.Страхов. –5-е изд., перераб. –М.: Энергоатомиздат, 1989. -528с.

  2. Бессонов Л.А. Теоретические Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 базы электротехники: Электронные цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов. –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978. –528с.

Контрольные вопросы и задачки

  1. В каких случаях отсутствуют составляющие нулевой последовательности Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 в линейных токах?

  2. Для каких цепей сопротивления прямой и оборотной последовательностей схожи, а для каких – различны?

  3. Для анализа каких цепей может быть применение способа симметричных составляющих?

  4. Как при использовании способа Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 симметричных составляющих учитывается сопротивление в нейтральном проводе?

  5. В чем заключается упрощение расчета цепи при использовании способа симметричных составляющих?

  6. Найти коэффициент несимметрии линейных напряжений , если ,  .

Ответ: .

  1. До недлинного замыкания в фазе А в цепи Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 на рис. 4 был симметричный режим, при котором ток в фазе А был равен .

  2. Разложить токи на симметричные составляющие.

Ответ: ; .

  1. Линейные напряжения на зажимах мотора  и . Найти действующие значения токов в Метод симметричных составляющих - Лекция n 16 фазах мотора, если его сопротивления прямой и оборотной последовательностей соответственно равны: ; . Нейтральный провод отсутствует.

Ответ: ; ; .

Лекция N 20


metod-statisticheskoj-nauki.html
metod-svobodnih-associacij.html
metod-tipovoj-proizvodstvennoj-situacii.html