Метод системосовокупностей

Метод системосовокупностей

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО

ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ Муниципальный ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

Институт имени НИЗАМИ

Решение неравенств

(методические советы для учителей)

БАКИРОВА А.Ю.

НОРМАТОВ А.А.

Ташкент 2004


Решение неравенств один из самых тяжелых для осознания и усвоения разделов в курсе школьной алгебры. Вообщем для решения неравенств существует огромное количество разных способов, как-то: способ системосовокупностей Метод системосовокупностей (с.с.), способ интервалов, графический способ, также неординарные способы.

В школе, в наилучшем случае, делается попытка обучить учащихся решать неравенства способом с.с, что в силу трудности этого способа, очень изредка удается. Посреди учителей встречается неверное мировоззрение о том, что неравенства можно решать подобно уравнениям, беря во внимание при всем Метод системосовокупностей этом область допустимых значений (ОДЗ).

В школьном курсе арифметики рассматривается способ интервалов для дробно-рациональных неравенств, графический способ рассматривается недостаточно. А о необычных способах гласить не приходится. При всем этом обучение строится по принципу «правило-пример», для выполнения упражнений учащимся довольно познаний неких правил и эталона показанного учителем. Таковой подход Метод системосовокупностей отучает от самостоятельного мышления, не содействует развитию математической деятельности.

Беря во внимание эти недочеты средней школы, разглядим методический подход исследования темы «Неравенства» на более высочайшем уровне в академических лицеях математического и естественного направления.

Предлагаемый подход позволяет высвободить учащихся от необходимости держать повсевременно в памяти огромное количество второстепенных формул Метод системосовокупностей, теорем, способов и тем предоставит им возможность для активного восприятия материала, для формирования собственной персональной системы познаний.


ОПИСАНИЕ Способов РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ

Способ системосовокупностей

Способ системосовокупностей один из часто встречающихся и универсальных способов решения неравенств хоть какого типа, т.к. способ системосовокупностей (с.с.) подчинен законам теории множеств.

Но бывают Метод системосовокупностей и исключения, которые объясняются только тем, что какие-то неравенства нельзя решить способами курса арифметики лицея.

К примеру,

В предстоящем будем показано, что такие неравенства решаются способом интервалов.

Системосовокупностью будем именовать хоть какое огромное количество уравнений и неравенств с неведомыми связанных меж собой логическими знаками (система) и (совокупа). В предстоящем будем обозначать Метод системосовокупностей с.с. большенными латинскими знаками .

Решением с.с. именуется огромное количество всех таких наборов реальных чисел , любой из которых удовлетворяет с.с. . Набор удовлетворяет с.с. и тогда только тогда, когда он удовлетворяет хотя бы одной из с.с. и . Таким макаром, записи и , также и Метод системосовокупностей имеют однообразный смысл.

Дальше, записи ( равносильно либо эквивалентно ) и ( тянет либо из следует ) означают соответственно, что либо .

Отметим некие правила преобразования с.с.

1.1 ;

1.2 ;

1.3. где - логический символ отрицания.

1.4. ;

1.5.

которые основаны соответственно на последующих соотношениях теории множеств:


где - дополнение к .

Отметим также, что если , т.е. , то и , т.к. прим этом и .

Разберем Метод системосовокупностей пример.

1.

Для решения этого неравенства используем правило (1.3.).

При решении неравенств способом с.с. начальное неравенство заменяем на равносильную ему с.с., беря во внимание при всем этом теоретико-множественные правила, также функциональное строение неравенства.

Приведем несколько более употребимых переходов от неравенств к эквивалентным с.с.

Начнем с неравенств Метод системосовокупностей содержащих символ абсолютной величины.

2.1 ;

2.2. а) ;

2.2 б) ;

Решим несколько примеров.

2.

Ответ:

3.

Ответ:

Разглядим простые иррациональные неравенства.

При решении иррациональных неравенств способом с.с. начальное неравенство сводится к равносильной с.с. оптимальных неравенств.

3.1. ;

3.2. ;

3.3. ;

3.4. ;

3.5. ;

3.6. .

Примеры.

4.

(т.к.

.

Ответ: .

5. .

Ответ: .

Показательно-степенные неравенства.

В силу монотонности показательной функции переход от неравенства к Метод системосовокупностей с.с. будет последующим.

4.1.

Вероятны личные случаи, когда и

4.1.а)

4.1.б)

Примеры.

6. .

Ответ: .

7.

.

Ответ: .

Логарифмические неравенства.

5.1

Вероятны личные случаи, когда

.

5.1.а)

5.1.б)

5.1.в)

Примеры.


8.

.

Ответ: .

9. .

Ответ: .

10.

.


Ответ: .

11.

.

Ответ: .

12. .

Ответ: .

Способ интервалов

Способ интервалов также принадлежит к числу более употребимых способов.

В школьном курсе арифметики этот способ рассматривается только для дробно Метод системосовокупностей-рациональных функций.

Разглядим обобщенный способ интервалов – его теорию и применение.

Пусть , где - функции из с областями определения в соответственно.

Тогда .

Обозначим также и положим . Пусть , где - огромное количество попарно непересекающихся интервалов, при этом такое, что для всякого интервал размещен на оси правее интервала . Не считая того, предполагаем, что любая Метод системосовокупностей из функций сохраняет неизменный символ на каждом интервале из . Это обеспечивается, к примеру, условием непрерывности этих функций на .

Мысль излагаемого способа основывается на последующих 2-ух положениях:

1) Функция сохраняет неизменный символ на каждом интервале из .

2) при переходе от интервала к интервалу функция сохраняет (меняет) собственный символ, если четное (нечетное) число функций Метод системосовокупностей из меняет собственный символ при переходе.

По правде, символ на интервале определяется количеством функций из , которые отрицательны на и, разумеется, совпадает (противоположен) знаку на интервале , если это количество меняется на четное (нечетное) число при переходе от к .

Таким макаром, решение неравенства , где значит один из символов , сводится к нахождению огромного количества Метод системосовокупностей , т.е. хотя бы на одном из интервалов , и к применению описанной процедуры рассмотрения символов на все оставшиеся интервалы. Заметим только, что если совпадает с одним из символов либо , то объединение соответственных интервалов нужно восполнить обилием .

Итак, применение изложенного способа позволяет, практически, свести решение неравенства к нахождению областей Метод системосовокупностей определения функций и к решению уравнений . Также этот способ позволяет, с одной стороны, существенно расширить круг неравенств, поддающихся обычному решению, а с другой – упростить решение многих неравенств. Так, к примеру, когда в рассмотренном произведении стоит всего одна функция, удается избавиться от необходимости соблюдать равносильность в процессе решения соответственных неравенств Метод системосовокупностей, что, в свою очередь, дает возможность избежать огромного числа всераспространенных ошибок. В случае, когда в произведении стоит более 2-ух функций, применение обобщенного способа интервалов более отлично тогда, когда выяснение символов функций в произведении, стоящих в левой части рассматриваемого неравенства, не составляет труда.

Прейдем к разбору примеров:

13.

Приведем к Метод системосовокупностей общему знаменателю, тогда начальное неравенство воспримет вид

После проверки:

Ответ:

Отметим, что способ интервалов рассматриваемый в школьном курсе арифметики является личным случаем рассмотренного выше обобщенного способа интервалов.

Разглядим пример:

14.

Приведем к общему знаменателю, тогда наше неравенство воспримет вид:

На числовой прямой отмечаем нули числителя и знаменателя

на одном из приобретенных интервалов определяем символ

Потом Метод системосовокупностей расставляем знаки на интервалах, беря во внимание при всем этом кратность нулей.


Таким макаром, решением нашего неравенства будем: .

Ответ: .

Также отметим, что в предстоящем оптимальные неравенства будем решать по этой облегченной схеме.

Нужно также увидеть, что если в оптимальном неравенстве поставить заместо переменной какую-либо однообразную функцию от этой Метод системосовокупностей переменной, то можно решать неравенство способом интервалов по рассмотренной выше облегченной схеме.

К примеру:

15.

Найдем нули

Ответ: .

16.

Проверим являются ли и нулями .

.

После проверки нулем является .

Ответ: .

17. (*)

,

после проверки: .


.

Ответ: .

18.

Решение:

f(x) = sin3x, f2(x) = , f3(x) =

F(x) = f(x) f2(x) f3(x) Df = R

x1, x Метод системосовокупностей2 – нули функции, x3 – точки разрыва функции: k, n, l Z

т.к. F(x) > 0, когда 0 < x < , то для F(x) на [0; ] имеем


Ответ:


metod-uchastiya-v-kapitale-.html
metod-uhudsheniya-glavnogo-parametra-obekta-ocenki.html
metod-uporstva-chelovek-dolzhen-nepokolebimo-priderzhivatsya-odnazhdi-prinyatih-vzglyadov-otricaya-lyubuyu-kritiku-i-sohranyaya-ubezhdennost-v-svoej-pravote.html